Sistemas Lineares (projeto 1)

Neste projeto serão mostrados dois métodos de resolução de sistemas lineares Ax = b (método da eliminação de Gauss e usando a função solve do programa), e comparar os resultados obtidos para diferentes valores de N, onde N: ordem da matriz.

Os métodos serão aplicados em quatro itens com diferentes matrizes para serem resolvidas.

Para cada imagem exibida, é possível ampliá-la clicando na imagem.

i)

Usando o método solve: 

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Usando o método de eliminação de Gauss:

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

O código usado para calcular o determinante de A e a razão entre o menor e o maior autovalores de A em módulo serão os mesmos para os dois métodos. Assim, o código é dado por:

Para N= 10 e 20 os códigos serão os mesmos, mudando apenas o valor da variável N, e a posição do maior autovalor da matriz A. Assim, será exibido apenas a solução do sistema.

Nas imagens seguintes serão exibidas os gráficos, e estarão identificados a ordem da matriz A (N), o valor do determinante da matriz A (detA).

Usando o método solve:

Usando o método gauss:

Sendo a variável "a" a razão entre o maior e o menor autovalores da matriz A em módulo, temos que:

N = 5: a = 476607.25024156051

N = 10: a = 16024663066292.234

N = 20: a = 1.103140868798481e+18

Conforme a ordem da matriz A aumenta, a razão entre o maior e o menor autovalores da matriz aumenta de forma muito acentuada, enquanto que o determinante da matriz diminui. A partir dos gráficos do vetor solução observa-se que o método solve apresenta uma oscilação muito grande, demonstrando uma maior instabilidade quando aumenta-se a ordem da matriz, enquanto que usando o método de eliminação de Gauss apresenta gráficos mais comportados.

Para os itens seguintes,o que será modificado serão apenas as matrizes A. O código para gerar o determinante de A e a razão entre o menor e o maior autovalores em módulo serão os mesmos. Assim, para os itens seguintes serão exibidos apenas o novo código de geração da matriz A, e a solução do sistema e interpretação.

ii)

Usando o método solve: 

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Usando o método de eliminação de Gauss:

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Nas imagens seguintes serão exibidas os gráficos, e estarão identificados a ordem da matriz A (N), o valor do determinante da matriz A (detA).

Usando o método solve:

Usando o método gauss:

Sendo a variável "a" a razão entre o maior e o menor autovalores da matriz A em módulo, temos que:

N = 5: a = 476607.25024156051

N = 10: a = 16024633473180.574

N = 20: a = 2.2595038042659722e+18

Mais uma vez, o aumento na ordem da matriz A influencia diretamente na razão entre o maior e o menor autovalores da matriz, e influencia inversamente no determinante da sua matriz. O método solve apresenta um aumento na oscilação do gráfico conforme a ordem da matriz A aumenta, apresentando instabilidade para a resolução do sistema. O método da eliminação de Gauss também apresenta oscilação, porém a instabilidade é menor, com um pico apenas no final do gráfico.

iii)

Usando o método solve: 

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Usando o método de eliminação de Gauss:

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Nas imagens seguintes serão exibidas os gráficos, e estarão identificados a ordem da matriz A (N), o valor do determinante da matriz A (detA).

Usando o método solve:

Usando o método gauss:

Sendo a variável "a" a razão entre o maior e o menor autovalores da matriz A em módulo, temos que:

N = 5: a = 9.969544242846343

N = 10: a = 7.0795177357028924

N = 20: a = 20.251387959149991

Neste item não é possível fazer uma conclusão em relação à mudança da ordem da matriz A, já que no enunciado foi exigido que a geração da matriz A fosse feita a partir de um comando que gerasse valores aleatórios entre 0 e 1. Tal problema está evidenciado nos valores obtidos no determinante e na razão entre o maior e menor autovalores da matriz A, onde os valores não demonstram nenhum padrão, aumentando e diminuindo. O comportamento dos gráficos também são inconclusivos, também por causa da geração aleatória dos valores da matriz A.

vi)

Usando o método solve: 

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

Apesar do código para resolver o sistema estar presente, a implementação do código não é possível, assim o método solve não permite a obtenção da resolução de um sistema linear.

Usando o método gauss: 

Código usado para gerar as matrizes A e b, e a solução:

A solução do sistema linear usando o método de eliminação de Gauss é possível, e está representada nos seguintes gráficos:

Os gráficos de resolução do sistema mostram um certo padrão no seu comportamento, com pico apenas no fim do gráfico, e antes disso uma grande estabilidade. A razão entre o maior e menor autovalores não foi calculada pois existe o valor zero, o que faz com que o cálculo seja impossível (zero no denominador).